Golang数据结构和算法教程九:算法复杂度及渐进符号

作者 : IT 大叔 本文共2593个字,预计阅读时间需要7分钟 发布时间: 2020-09-15

算法复杂度渐进符号

一、算法复杂度

首先每个程序运行过程中,都要占用一定的计算机资源,比如内存,磁盘等,这些是空间,计算过程中需要判断,循环执行某些逻辑,周而反复,这些是时间。

那么一个算法有多好,多快,怎么衡量一个算法的好坏?所以,计算机科学在算法分析过程中,提出了算法复杂度理论,这套理论可以量化算法的效率,以此作为标准,方便我们能衡量到底选择哪一种算法。

复杂度有两个维度:时间和空间。

我们说,一个实现了某算法的程序:

  1. 如果计算的速度越快,那么这个算法时间复杂度越低。
  2. 如果占用的计算资源越少,那么空间复杂度越低。

我们要选择复杂度低的算法,衡量好空间和时间的消耗,选出适合特定场景的算法。

这两个复杂度维度的量化过程都是一样的,所以我们这里主要介绍时间复杂度。

二、算法规模

我们要计算公式1 + 2 + 3 + ... + 100,那么按照最直观的算法来写:

package main

import "fmt"

func sum(n int) int {
    total := 0
    // 从1加到N, 1+2+3+4+5+..+N
    for i := 1; i <= n; i++ {
        total = total + i
    }
    return total
}

func main() {
    fmt.Println(sum(100))
}

n = 10时就等于我们要计算的公式。这个算法要循环n-1次,当n很小时,计算很快,但当n无限大的时候,计算很慢。

所以,算法衡量要衡量的是在不同问题规模 n下,算法的速度。

在这里,因为要循环计算n-1次,而当n无限大时,常数项基本忽略不计,所以这个算法的时间复杂度,我们用O(n)来表示。

我们有另外一种计算方式:

func sum2(n int) int {
    total := ((1 + n) * n) / 2
    return total
}

这次算法只需执行1次,所以这个算法的时间复杂度是O(1)。可以看出,时间复杂度为O(1)的算法优于复杂度为O(n)的算法。

当然,还有指数级别的比如之前的汉诺塔算法,对数级别的,阶乘级别的复杂度,如O(2^n)O(n!)O(logn)等。

算法的优先级排列如下,一般排在上面的要优于排在下面的:

  1. 常数复杂度:O(1)
  2. 对数复杂度:O(logn)
  3. 一次方复杂度:O(n)
  4. 一次方乘对数复杂度:O(nlogn)
  5. 乘方复杂度:O(n^2)O(n^3)
  6. 指数复杂度:O(2^n)
  7. 阶乘复杂度:O(n!)
  8. 无限大指数复杂度:O(n^n)

三、渐进符号

如何量化一个复杂度,到底有多复杂,计算机科学抽象出了几个复杂度渐进符号。

渐进符号如下:

OοΘΩω

分别读作:Omicron(大欧),omicron(小欧),Theta(西塔),Omega(大欧米伽),omega(小欧米伽)。

3.1. 渐进符号:Θ

假设算法A的运行时间表达式:

T(n)= 5 * n^3 + 4 * n^2

如果问题规模n足够大,那么低次方的项将无足轻重,运行时间主要取决于高次方的第一项:5*n^3

随着n的增大,第一项的5*n^3中的常数5也无足轻重了。

所以算法A的运行时间T(n)约等于n^3。记为:

T(n) = Θ(n^3)

Θ的数学含义:

f(n)g(n)是定义域n为自然数集合的函数,两个函数同阶,也就是当n无穷大时,f(n)/g(n)等于某个大于0的常数c
也可以说,存在正常量c1c2n0,对于所有n >= n0,有0 <= c1 * g(n) <= f(n) <= c2 * g(n)
那么可以记f(n) = Θ(g(n))g(n)f(n)的渐进紧确界。

3.2. 渐进符号:O

O的数学含义:

f(n)g(n)是定义域n为自然数集合的函数,f(n)函数的阶不高于g(n)函数的阶。
也可以说,存在正常量cn0,对于所有n >= n0,有0 <= f(n) <= c * g(n)
那么可以记f(n) = O(g(n))g(n)f(n)的渐进上界。

3.3. 渐进符号:Ω

Ω的数学含义:

f(n)g(n)是定义域n为自然数集合的函数,f(n)函数的阶不低于g(n)函数的阶。
也可以说,存在正常量cn0,对于所有n >= n0,有0 <= cg(n) <= f(n)
那么可以记f(n) = Ω(g(n))g(n)f(n)的渐进下界。

3.4. 渐进分析

上面的定义很复杂,我们可以来看图:

Golang数据结构和算法教程九:算法复杂度及渐进符号插图

n值超过某个值时,f(n)g(n)两条线夹在中间,那么g(n)就是渐进紧确界。

如果g(n)的线在上面,就是渐进上界。

如果g(n)线在下面,就是渐进下界。

我们一般会评估一个算法的渐进上界O,因为这表示算法的最坏情况,这个上界可以十分不准确,但我们一般会评估得足够准确,比如:

 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2,我们要求渐进上界。

那么:

f(n) = O(n^3)g(n) = n^3
f(n) = O(n^4)g(n) = n^4

两个g(n)都是上界,因为令c = 5时都存在:0 <= f(n) <= c * g(n))

我们会取乘方更小的那个,因为这个界更逼近f(n)本身,所以我们一般说f(n) = O(n^3),算法的复杂度为大欧n的三次方,表示最坏情况。

同理,渐进下界Ω刚好与渐进上界相反,表示最好情况。比如还是这个假设:

 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2,我们要求渐进下界。

那么:

f(n) = Ω(n^3)g(n) = n^3
f(n) = Ω(n^2)g(n) = n^2

两个g(n)都是下界,因为令c =5时都存在:0 <= cg(n) <= f(n)

我们准确评估的时候,要取乘方更大的那个,因为这个界更逼近f(n)本身,所以我们一般说f(n) = Ω(n^3),算法的复杂度为大欧米伽n的三次方,表示最好情况。

我们发现当f(n) = Ω(n^3) = O(n^3)时,其实f(n) = Θ(n)

另外两个渐进符号οω一般很少使用,指不那么紧密的上下界。

也就是评估的时候,不那么准确去评估,在评估最坏情况的时候使劲地往坏了评估,评估最好情况则使劲往好的评估,但是它不能刚刚好,比如上面的结果:

f(n) = O(n^3)g(n) = n^3
f(n) = O(n^4)g(n) = n^4
f(n) = Ω(n^3)g(n) = n^3
f(n) = Ω(n^2)g(n) = n^2

我们可以说:

f(n) = ο(n^4)g(n) = n^4  往高阶的评估,不能同阶
f(n) = ω(n^2)g(n) = n^2  往低阶的评估,不能同阶

四、总结

Golang数据结构和算法教程九:算法复杂度及渐进符号插图(2)

我们一般用O渐进上界来评估一个算法的时间复杂度,表示逼近的最坏情况。其他渐进符合基本不怎么使用。

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