Golang数据结构和算法教程十:算法复杂度主方法

作者 : IT 大叔 本文共2114个字,预计阅读时间需要6分钟 发布时间: 2020-09-15

算法复杂度主方法

有时候,我们要评估一个算法的复杂度,但是算法被分散为几个递归的子问题,这样评估起来很难,有一个数学公式可以很快地评估出来。

一、复杂度主方法

主方法,也可以叫主定理。对于那些用分治法,有递推关系式的算法,可以很快求出其复杂度。

定义如下:

Golang数据结构和算法教程十:算法复杂度主方法插图

如果对证明感兴趣的可以翻阅书籍:《算法导论》。如果觉得太难思考,可以跳过该节。

由于主定理的公式十分复杂,所以这里有一种比较简化的版本来计算:

Golang数据结构和算法教程十:算法复杂度主方法插图(2)

二、举例

  1. 二分搜索,每次问题规模减半,只查一个数,递推过程之外的查找复杂度为O(1),递推运算时间公式为:T(n) = T(n/2) + O(1)
  2. 快速排序,每次随机选一个数字作为划分进行排序,每次问题规模减半,递推过程之外的排序复杂度为O(n),递推运算时间递推公式为:T(n) = 2T(n/2) + O(n)

按照简化版的主定理,可以知道:

二分查找:a = 1,b = 2,d = 0,可以知道a = b^d,所以二分查找的时间复杂度为:O(logn)

快速排序:a = 2,b = 2,d = 1,可以知道a = b^d,所以快速排序的时间复杂度为:O(nlogn)

强调:并非所有递推关系式都可应用主定理,但是大部分情况下都可以。

因为需要较多的数学知识,所以我们只简单介绍到这里。

延伸-计算理论:P和NP问题

在计算机科学中,有一个专门的分支研究问题的可计算性,叫做计算理论。

我们用计算机算法来解决一个问题,如果一个问题被证明很难计算,或者只能暴力枚举来解决,那么我们就不必花大力气去质疑使用的算法是不是错了,为什么这么慢,计算怎么久都没出结果,到底有没有更好的算法。

计算机科学把一个待解决的问题分类为:P问题,NP问题,NPC问题,NP-hard问题。

一、P 和 NP 问题

类似于O(1)O(logn)O(n)等复杂度,规模n出现在底数的位置,计算机能在多项式时间解决,我们称为多项式级的复杂。

类似于O(n!)O(2^n)等复杂度,规模n出现在顶部的位置,计算机能在非多项式时间解决,我们称为非多项式级的复杂度。

如果一个问题,可以用一个算法在多项式时间内解决,它称为P问题(PPolynominal的缩写,多项式)。

比如求1加到100的总和,它的时间复杂度是O(n),是多项式时间。

然而有些问题,只能用枚举的方式求解,时间复杂度是指数级别,非多项式时间,但是只要有一个解,我们能在多项式时间验证这个解是对的,这类问题称为NP问题。

也就是说,如果我们只能靠猜出问题的一个解,然后可以用多项式时间来验证这个解,这些问题都是NP问题。

所以,按照定义,所有的P问题都是NP问题。

计算理论延伸出了图灵机理论,自动机=算法。

有两种自动机,一种是确定性自动机,机器从一个状态到另外一个状态的变化,只有一个分支可以走,而非确定性自动机,从一个状态到另外一个状态,有多个分支可以走。P问题都可以用两种机器来解决,当非确定性自动机退化就变成了确定性自动机,而NP问题只能用非确定性自动机来解决。

自动机对NNP问题的定义:

可以在确定性自动机以多项式时间解决的问题,称为P问题,可以在多项式时间验证答案的问题称为NP问题。而NP问题是可以在非确定型自动机以多项式时间解决的问题(NP两字为Non-deterministicPolynomial的缩写,非确定多项式)。

数学,计算机科学,哲学,三个学科其实交融在一起,自动机是一台假想的机器,世界其实也可以认为是一个假想的机器,所以世界可以等于一台自动机吗,大家可以发挥想象力,在以后的日子里慢慢体会,建议购买书籍《计算理论》补习相关知识。

二、NPC 和 NP-hard 问题

存在这样一个NP问题,所有的NP问题都可以约化成它。换句话说,只要解决了这个问题,那么所有的NP问题都解决了。其定义要满足2个条件:

  1. 它得是一个NP问题。
  2. 所有的NP问题都可以约化到它。

这种问题称为NP完全问题(NPC)。按照这种定义,NP问题要比NPC问题的范围广。

那什么是NP-hard问题,其定义要满足2个条件:

  1. 所有的NP问题都可以约化到它。
  2. 它不是一个NP问题。

也就是说,NP-hard问题更难,你只要解决了NP-hard问题,那么所有的NP问题都可以解决。但是,这个问题本身不是一个NP问题,也就是解不能在多项式时间内被验证。

比如你有一个交际网,每个人是一个节点,认识的人之间相连。你要通过一个最快、最省钱、最能提升你个人形象、最没有威胁、最不影响你日常生活的方式认识一个萌妹,你怎么证明你认识这个萌妹是最省钱的呢?-来自知乎回答。

我们一旦发现一个问题是NPC问题,那么我们很难去准确求出其解,只能暴力枚举,靠猜。

三、总结

各类问题可以用这个图来表示:

Golang数据结构和算法教程十:算法复杂度主方法插图(4)

"P=NP" 问题的目标,就是想要知道PNP这两个集合是否相等。为了证明两个集合(AB)相等,一般都要证明两个方向:

  1. A包含B
  2. B包含A

我们已经说过NP包含了P。因为任何一个非确定性机器,都能被当成一个确定性的机器来用。你只要不使用它的“超能力”,在每个分支点只探索一条路径就行。

所以 "P=NP" 就在于P是否也包含了NP。也就是说,如果只使用确定性计算机,能否在多项式时间之内,解决所有非确定性计算机能在多项式时间内解决的问题。

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